Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值______．

Answer 1

设椭圆的焦距为2c，同时可设

a2

c

=

1

t

，∴c=ta²
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），
∴

1

a2

+

4

b2

=1
∴b²+4a²=a²b²
∴5a²-c²=a²（a²-c²）
∴5a²-（ta²）²=a²[a²-（ta²）²]
∴t²a⁴-（t²+1）a²+5=0
∴△=（t²+1）²-20t²≥0时，方程有解
∴t2-2

5

t+1≥0
∴t≥

5

+2，或0＜t≤

5

-2
∴0＜

1

t

≤

5

-2，或

1

t

≥

5

+2
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），
∴椭圆的中心到准线x=

a2

c

＞1
∴椭圆的中心到准线的距离的最小值

5

+2
故答案为：

5

+2