题目内容

设F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果
AF2
=2
F2B
，求椭圆C的方程．
（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离
3
c=2
3
，故c=2．
所以椭圆C的焦距为4．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y=
3
(x-2)．
联立
y=
3
(x-2)
x2
a2
+
y2
b2
=1
得(3a2+b2)y2+4
3
b2y-3b4=0．
解得y1=
-
3
b2(2+2a)
3a2+b2
，y2=
-
3
b2(2-2a)
3a2+b2
．
因为
AF2
=2
F2B
，所以-y1=2y2．
即
3
b2(2+2a)
3a2+b2
=2•
-
3
b2(2-2a)
3a2+b2
．
得a=3．而a2-b2=4，所以b=
5
．
故椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
5
=1．
练习册系列答案
相关题目
AB是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KAB•KOM的值为（　　）
A．e-1B．1-eC．e2-1D．1-e2
过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（-3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为（　　）
A．
x2
12
+
y2
3
=1		B．
x2
25
+
y2
16
=1
C．
x2
45
+
y2
36
=1		D．
x2
81
+
y2
72
=1
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A（2，0）为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且
AC
•
BC
=0，|
OC
-
OB
|=2|
BC
-
BA
|，则其焦距为（　　）
A．
2
6
3
B．
4
3
3
C．
4
6
3
D．
2
3
3
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值______．
椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率是
1
2
，则
b2+1
3a
的最小值为（　　）
A．
3
3
B．1C．
2
3
3
D．2
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1和F2，长轴是A1A2，P是椭圆上异于A1、A2的点，考虑如下四个命题：
①|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；
②a-c＜|PF1|＜a+c；
③若b越接近于a，则离心率越接近于1；
④直线PA1与PA2的斜率之积等于-
b2
a2
．
其中正确的命题是（　　）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①④
已知椭圆
x2
2
+
y2
3
=1，F1、F2是它的焦点，AB是过F1的弦，则△ABF2的周长为______．
已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为F1（
3
，0），且该焦点于长轴上较近的端点距离为2-
3
．
（1）示此椭圆的标准方程及离心率；
（2）设F2是椭圆另一个焦点，若P是该椭圆上一个动点，求
PF1
•
PF2
的取值范围．

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