Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式≥0对一切实数恒成立.
（1）求cosC的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.

Answer 1

（1）；（2）。

解析试题分析：（1） 需对分情况讨论，cosC≠0时，则为一元二次不等式恒成立问题，则需；
（2）因为S_△ABC=，只需求的最大值，再由余弦定理的应用及基本不等式去求。
（1）当cosC=0时，sinC=1，原不等式即为4x+6≥0对一切实数x不恒成立.
当cosC≠0时，应有               
 ，解得（舍去）
∵C是△ABC的内角，  ∴ 
（2）∵0<C<π， 
∴∠C的最大值为， 此时，
∴≥，
∴≤4（当且仅当a=b时取“=”），  
∴S_△ABC=≤（当且仅当a=b时取“=”），
此时，△ABC面积的最大值为，△ABC为等边三角形。
考点：（1）一元二次不等式的解法；（2）余弦定理的应用；（3）利用基本不等式求最值。