Question

若不等式

4-x2

≤k(x+1)的解集为区间[a，b]，且b-a=1，则 k=

 

．

Answer 1

分析：将不等式的两边分别构造两个函数，左边的部分对应的函数是一个圆的上部，右边的部分对应的函数是过定点的直线，结合图象求出k的范围．

解答：解：y1=

4-x2

(-2≤x≤2)
平方变形得
x²+y₁²=4（y₁≥0）
则其图象表示为以原点为圆心，半径为2的圆在x轴上方的上半部分
令y₂=k（x+1）
其图象为一条经过点（-1，0），斜率为k的直线
点（-1，0）在半圆x²+y₁²=4（y₁≥0）的内部

4-x2

≤k(x+1)就是指直线y₂=k（x+1）高出圆x²+y₁²=4（y₁≥0）的那一部分时，x的范围为[a，b]，
结合图象x的范围为[a，2]或[-2．b]
∴2-a=1或b+2=1
∴a=1或b=-1
当-1=1时斜率不存在，
当a=1时，k=

3

2

故答案为

3

2

点评：解含参数的无理不等式时，一般通过平方去根号转化为有理不等式再解；有时构造函数，数形结合来求参数的范围．