Question

【题目】在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）

（3）在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．

【解析】

（Ⅰ）由， 是的中点，得到，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到．

（Ⅱ）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（Ⅲ）设且，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.

（1）证明：∵， 是的中点，∴，

又平面，∴，

∵，∴平面，

∴．

（2）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．

则：， ， ， ， ，

， ， ， ，

设平面的一个法向量，则： ，

取， ， ，所以，

设平面的一个法向量，则

取， ， ，所以，

．

故平面与平面所成的二面角的正弦值为．

（3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，

设且， ，

∴，

∴， ， ，∴，

若直线与平面所成的的角为，

则 ，解得，

所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．