Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，且有f(

1

2

)=

2

5

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（x-2）+f（x-1）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件建立方程关系即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式f（x-2）+f（x-1）＜0．

解答： 解：（ I）由

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

   ∴

a=1 b=0

   ∴f(x)=

x

1+x2

…（4分）
（ II）设-1＜x₁＜x₂＜1，
由f(x1)-f(

x

2

)=

(x1-x2)(1- x   1 x   2 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

＜0，
∴f（x）在（-1，1）上是增函数…（8分）
（ III）不等式等价为f（x-2）＜-f（x-1）=f（-x+1），
∴-1＜x-2＜-x+1＜1，
解得1＜x＜

3

2

…（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质的应用．