Question

15．设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令${a_n}=\frac{x_n}{n^2}$，则a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值为$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．得到x_n和a_n的表达式，利用裂项法进行求解从而问题解决．

解答 解：函数的导数f′（x）=（n+1）xⁿ，
则函数在（1，1）处的切线斜率k=f′（1）=n+1，
在点（1，1）处的切线方程为y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨设y=0，${x_n}=\frac{n}{n+1}$，
则${a_n}=\frac{x_n}{n^2}$=$\frac{\frac{n}{n+1}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．利用裂项法 进行求和是解决本题的一个技巧．