Question

定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足：xf′（x）＜f（x）且f（2）=0，则f（x）＜0的解集为（　　）

• A、（0，2）
• B、（0，2）∪（2，+∞）
• C、（2，+∞）
• D、ϕ

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=

f(x)

x

，求函数的导数，判断函数的单调性，根据

f(x)

x

＜0的解集与f（x）＜0的解集相同即可得到结论．

解答： 解：根据题意，由f′（x）•x＜f（x）可得f′（x）•x-f（x）＜0，
设g（x）=

f(x)

x

即g′（x）=[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，则g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又由f（2）=0，则g（2）=0，
即当0＜x＜2时，有g（x）＞0，
当x＞2时，有g（x）＜0，
即g（x）=

f(x)

x

＜0的解集为（2，+∞），
当x＞0时，

f(x)

x

＜0的解集与f（x）＜0的解集相同，
故f（x）＜0的解集为（2，+∞），
故选C．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了学生的计算能力，解题时注意转化思想的运用，构造函数是解决本题的关键．