Question

讨论下列函数的单调性.

(1)f(x)=a^x-a^-x(a＞0且a≠1);

(2)f(x)=log_a(3x²+5x-2)(a＞0且a≠1);

(3)f(x)=(-1＜x＜1,b≠0).

Answer 1

分析：当函数含有字母参数时，分类讨论在所难免.不同的函数结构往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性.

解：(1)函数定义域为R.

f′(x)=a^xlna-a^-x·lna(-x)′=lna(a^x+a^-x).

当a＞1时，lna＞0,a^x+a^-x＞0,∴f′(x)＞0.

∴函数f(x)在（-∞,+∞）上是增函数.

当0＜a＜1时，lna＜0,a^x+a^-x＞0,

∴f′(x)＜0.

∴函数f(x)在（-∞,+∞）上是减函数.

(2)函数的定义域是x＞或x＜-2.

f′（x）=·(3x²+5x-2)′=.

①若a＞1,则当x＞时，log_ae＞0,6x+5＞0,(3x-1)(x+2)＞0,

∴f′(x)＞0,

∴函数f(x)在（，+∞)上是增函数;

当x＜-2时，f′(x)＜0,

∴函数f(x)在（-∞,-2）上是减函数

②若0＜a＜1,则当x＞时，f′(x)＜0,

∴函数f(x)在(,+∞)上是减函数；

当x＜-2时，f′(x)＞0,

∴函数f(x)在（-∞,-2)上是增函数.

(3)函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性.

当0＜x＜1时，

f′(x)=b·

=-.

若b＞0,则f′(x)＜0,函数f(x）在（0，1）上是减函数；

若b＜0,则f′(x)＞0,函数f(x)在（0，1）上是增函数.

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性.所以当b＞0时，函数f(x)在（-1，1）上是减函数，当b＜0时，函数f(x)在（-1，1）上是增函数.