Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，为原点.
（1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离；

（2）如图2，直线与椭圆相交于、两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）先设点的坐标，并利用点的坐标来表示点的坐标，利用以及点在椭圆上列方程组求解点的坐标，从而求出点到轴的距离；（2）先设点、，利用为平行四边形，得到，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理与点在椭圆上这一条件，列相应等式求出实数的取值范围.
试题解析：（1）由已知得、，
设，则的中点为，
，，即，
整理得，①，又有，②
由①②联立解得或（舍）
点到轴的距离为；
（2）设，，，
四边形是平行四边形
线段的中点即为线段的中点，即，，
点在椭圆上，，
即，
化简得，
由得，
由得，④
且，代入③式得，
整理得代入④式得，又，或，
的取值范围是.