Question

已知

a

=(2cosx，sinφ)，

b

=(sin(x+φ)，-1)(-π＜φ＜0)．定义f(x)=

a

•

b

 (x∈R)，且f(x)=f(

π

4

-x)对任意实数x恒成立．
（1）求φ的值；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积，以及角的变换，利用两角和与差的正弦函数化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，通过f(x)=f(

π

4

-x)，推出对称轴，结合φ的范围，求出φ的值．
（2）利用正弦函数的单调增区间直接求出函数y=f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）f（x）=2cosxsin（x+?）-sin?=2cosxsin（x+?）-sin[（x+?）-x]=sin（x+?）cosx+cosx（x+?）sinx=sin（2x+?）．
由f(x)=f(

π

4

-x)知函数f（x）对称轴是x=

π

8

，即f(

π

8

)是函数最值2×

π

8

+φ=

π

2

+kπ?φ=

π

4

+kπ(k∈Z)，又-π＜φ＜0，所以φ=-

3π

4

．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-

3π

4

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

3π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，解得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ(k∈Z)．
所以，y=f（x）的单调增区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ] (k∈Z)．

点评：本题是中档题，通过向量的数量积，考查三角函数的化简解析式的求法，函数的单调增区间的求法，求出φ是本题的关键，常考题型．