Question

已知

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(3cosx，-2cosx)，设f(x)=

a

•

b

，
（1）当x∈(

π

2

，

3π

2

)时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合；
（2）若锐角α满足f(

α

2

)=4，求sin(α+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数 f(x)=

a

•

b

．化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的值域，直接求出函数f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合；
（2）根据f(

α

2

)=4，求出sin(α-

π

3

)=-

1

2 3

，利用同角三角函数基本关系式求出cos(α-

π

3

)=

33

6

，利用诱导公式即可求出结果．

解答：解：（ 1）f(x)=

a

•

b

=6cos2x-2

3

sinxcosx
即：f(x)=3cos2x-

3

sin2x+3=-2

3

sin(2x-

π

3

)+3≥3-2

3

，
此时：2x-

π

3

=2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：x=kπ+

5π

12

（k∈Z）．
即f（x）的最小值是3-2

3

，此时x的取值集合是{x|x=kπ+

5π

12

，k∈Z}；
（ 2）由f(

α

2

)=4得，-2

3

sin(α-

π

3

)+3=4，
即sin(α-

π

3

)=-

1

2 3

，
因为α是锐角，所以-

π

3

＜α-

π

3

＜

π

6

，cos(α-

π

3

)=

33

6

，
所以sin(α+

π

6

)=cos[

π

2

-(α+

π

6

)]=cos(

π

3

-α)=cos(α-

π

3

)=

33

6

点评：本题考查向量数量积的运算律、三角函数的平方关系和商数关系、三角函数的有界性和最值，考查运算能力，注意在解决三角函数的有关问题时，注意角之间的关系，属中档题．