Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，2），P是动点，且△POM的三边所在直线的斜率满足k_OM+k_OP=k_PM．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）点N在直线y=4x-1，过N作（1）中轨迹C的两切线，切点分别为A，B，若△ABN是直角三角形，求点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）设动点P的坐标，利用已知条件k_OM+k_OP=k_PM列式整理得到点P的轨迹C的方程；
（2）对函数y=

1

2

x2求导，设出A，B的坐标，由导函数得到AN和BN所在直线的斜率，设N点坐标，由两点式求出AN和BN所在直线的斜率，由斜率相等得到A，B，N的坐标的关系，然后分AN⊥BN，AN⊥AB，BN⊥AB三种情况列式求解N的坐标．

解答：解：（1）设P（x，y），由k_OM+k_OP=k_PM得：1+

y

x

=

y-2

x-2

，即x²=2y，
所以P点的轨迹C的方程是：x²=2y（x≠0，且x≠2），
（2）由C：y=

1

2

x2，∴y'=x，设A(x1，

1

2

x

2 1

)，B(x2，

1

2

x

2 2

)，N（a，b）
则k_AN=x₁，k_BN=x₂，
由于AN是曲线的切线，∴

1 2 x 2 1 -b

x1-a

=x1，
即

x

2 1

-2ax1+2b=0，同理

x

2 2

-2ax2+2b=0，
两式相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-2a（x₁-x₂）=0，
又x₁≠x₂，故x₁+x₂=2a，
①若AN⊥BN，则k_ANk_BN=-1，∴x₁x₂=-1，
由

x12-2ax1+2b=0 x22-2ax2+2b=0 x1x2=-1

，得2b=-1，b=-

1

2

，此时N(

1

8

，-

1

2

)；
②若AN⊥AB，则k_ANk_AB=-1，即

1 2 x 2 2 - 1 2 x 2 1

x2-x1

•x1=-1，
化简得：（x₁+x₂）x₁+2=0，即2ax₁+2=0，x1=-

1

a

，
又

x

2 1

-2ax1+2b=0，即

1

a2

+2+2b=0，
由

1 a2 +2+2b=0 b=4a-1

，可得

a=- 1 2 b=-3

，
∴N(-

1

2

，-3)，
③若BN⊥AB，则k_BN•k_AB=-1，即

1 2 x22- 1 2 x12

x2-x1

•x2=-1，
化简得：（x₁+x₂）x₂+2=0，即2ax₂+2=0，x2=-

1

a

，
又x22-2ax2+2b=0，即

1

a2

+2+2b=0，
由

1 a2 +2+2b=0 b=4a-1

，可得

a=- 1 2 b=-3

，
∴N(-

1

2

，-3)．
综上可得，所求点N有两个，即N(

1

8

，-

1

2

)，N(-

1

2

，-3)．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力，属难题．