Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O、M分别为CE、AB的中点．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）在棱EM上是否存在N，使ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由；
（3）求二面角O-ED-M的大小．

Answer 1

分析：（1）取AC中点F，连OF、BF，通过证明四边形ODBF为平行四边形，得出OD∥FB，从而证出OD∥平面ABC
（2）存在．当N是EM中点时即可．先由CM⊥AB，结合面面垂直的性质定理得出BC⊥平面EDM，再由ON是△EMC的中位线，得出ON∥CM，所以有ON⊥平面ABDE．
（3）法1：过N作NG⊥ED于点G，连接OG、ON，可以证明∠OGN即所求二面角的平面角．在△OGN求解即可．
 法2：如图建立直角坐标系．分别求出面OED 的法向量，平面MED的法向量，利用向量的夹角求出二面角O-ED-M的大小．

解答：解：（1）取AC中点F，连OF、BF，

由于O为CE的中点，∴OF是△CAE的中位线，∴OF∥AE，OF=

1

2

AE，
又BD∥AE，BD=

1

2

AE=2，∴OF∥BD，OF=BD，
∴四边形ODBF为平行四边形，
∴OD∥FB，又OD?平面ABC，FB?平面ABC，
∴OD∥平面ABC；
 （2）存在．当N是EM中点时即可．

由已知，ON是△EMC的中位线，∴ON∥CM
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM⊥AB，
又平面ABDE⊥平面ABC，根据面面垂直的性质定理得出
CM⊥平面EDM，而ON与CM平行，从而可得ON⊥平面EDM．
（3）法1：过N作NG⊥ED于点G，连接OG、ON，

由（2）ON⊥平面EDM，ED?平面EDM，
∴ON⊥ED，ON∩NG=N，
∴ED⊥ONG，ED⊥OG，
则∠OGN即所求二面角的平面角．
在Rt△ONG中，由题计算可知ON=

2

，OG=2，
又∠ONG是直角，所以∠OGN=

π

4

，故二面角O-ED-M的大小是

π

4

．
法2：如图建立直角坐标系．

可知D（0，4，2），E（4，0，4），O（2，0，2），M（2，2，0），由（2）知N（3，1，2），所以平面EMD的法向量

NO

=(-1，-1，0)，
设平面OED的法向量为

n

=(x，y，1)，
又知

OE

=(2，0，2)，

OD

=(-2，4，0)，由

n

•

OE

=0
及

n

•

OD

=0得

2x+2=0 -2x+4y=0

计算可得

x=-1 y=- 1 2

所以

n

=(-1，-

1

2

，1)，cos＜

n

，

NO

＞=

2

2

，二面角O-ED-M的大小是

π

4

．

点评：本题考查空间直线和平面平行，直线和平面垂直的判定，二面角大小求解．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．