Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O，M，N分别为CE，AB，EM的中点．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求证：ON⊥平面ABDE；
（3）求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线的性质，先证明四边形ODBF是平行四边形，从而可得OD∥FB，利用线面平行的判定，可以证明OD∥平面ABC；
（2）利用平面ABDE⊥平面ABC，证明BD⊥平面ABC，进而可证ON⊥平面ABDE；
（3）建立空间直角坐标系，确定平面ODM的法向量

n

=(-3，1，

2

)，利用向量的夹角公式，可求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．

解答：（1）证明：如图1，取AC中点F，连接OF，BF．
∵O是EC中点，∴OF是△CAE的中位线，∴OF∥EA，且OF=

1

2

EA，
又DB∥EA，且DB=

1

2

EA，∴OF∥DB且OF=DB，∴四边形ODBF是平行四边形，
∴OD∥FB．
∵OD?面ABC，FB?面ABC，OD∥平面ABC．…（5分）
（2）证明：连接CM，
∵N是EM的中点，∴ON∥CM．
∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，BD?平面ABDE，BD⊥AB，
∴BD⊥平面ABC，
∵CM?平面ABC，∴BD⊥CM，∴BD⊥ON．
又△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，∴ON⊥AB，
由AB，DB?平面ABDE，AB∩DB=B，∴ON⊥平面ABDE．…（11分）
（3）解：建立如图2所示的空间直角坐标系．
由条件，得M(0，0，0)，C(2

2

，0，0)，E(0，2

2

，4)，D(0，-2

2

，2)，O(

2

，

2

，2)，
∴

MO

=(

2

，

2

，2)，

MD

=(0，-2

2

，2)，

CD

=(-2

2

，-2

2

，2)，
设平面ODM的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n

⊥

MO

，

n

⊥

MD

，
∴

2 x+ 2 y+2z=0 -2 2 y+2z=0

，取

n

=(-3，1，

2

)，
设直线CD与平面ODM所成角为θ，则sinθ=|cos?

n，

CD

＞|=|

6 2 -2 2 +2 2

2 5 ×2 3

|=

30

10

，
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为

30

10

．  …（16分）

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是正确运用线面平行与垂直的判定与性质，正确运用向量法求线面角．