Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O、M分别为CE、AB的中点，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出

OD

与

MD

的坐标，设平面ODM的法向量n=（x，y，z），则由n⊥

OD

，且n⊥

MD

建立两等式关系，求出x、y、z，设直线CD和平面ODM所成角为θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

CD

＞|进行求解．

解答：解：∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE，
∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，
如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，
以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=4，
∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），
则O（2，0，2），M（2，2，0），

CD

=(0，4，2)，

OD

=(-2，4，0)，

MD

=(-2，2，2)，
设平面ODM的法向量n=（x，y，z），则由n⊥

OD

且n⊥

MD

可得

-2x+4y=0 -2x+2y+2z=0

令x=2，则y=1，z=1，∴n=（2，1，1），
设直线CD和平面ODM所成角为θ，则sinθ=|cos＜n，

CD

＞|=|

n• CD

|n|| CD |

|=|

(2，1，1)•(0，4，2)

|(2，1，1)||(0，4，2)|

|=

6

6 •2 5

=

30

10

，
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为

30

10

．

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中等题．