Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O、M分别为CE、AB的中点．
（Ⅰ）求证：OD∥平面ABC；
（Ⅱ）求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；
（Ⅲ）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）取AC中点F，连接OF、FB，可证四边形BDOF是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（II）以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，
设面ODM的法向量

n

=(x，y，z)，则直线CD和平面ODM所成角为θ，从而求解．
（III）取EM中点N，连接ON、CM，因为AC=BC，M为AB中点，可得CM⊥AB，证明ON∥CM即可求解．

解答：解：（I）证明：取AC中点F，连接OF、FB（1分）
∵F是AC中点，O为CE中点，∴OF∥EA且OF=

1

2

EA，又BD∥AE且BD=

1

2

AE
∴F∥DB，OF=DB
∴四边形BDOF是平行四边形（2分）
∴OD∥FB（3分）
又∵FB?平面MEG，OD?平面MEG
∴OD面ABC．（4分）
（II）∵DB⊥面ABC，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE，
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC，（5分）
如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系
∵AC=BC=4
∴各点坐标为：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2）
E（4，0，4）
∴O(2，0，2)，M(2，2，0)，

CD

=(0，4，2)，

OD

=(-2，4，0)，

MD

=(-2，2，2)（6分）
设面ODM的法向量

n

=(x，y，z)，则由

n

⊥

MD

可得

-2x+4y=0 -2x+2y+2z=0

令x=2，
得：

n

=(2，1，1)（7分）
设直线CD和平面ODM所成角为θ．
则：sinθ=|

n • CD

| n || CD |

|=|

(2，1，1)•(0，4，2)

|(2，1，1)|•|(0，4，2)|

|=

6

6 •2 5

=

30

10

．
∴直线CD和平面ODM所成角正弦值为

30

10

．（8分）
（III）方法一：当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．（9分）
证明：取EM中点N，连接ON、CM，∵AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM?面ABC，
∴CM⊥AB，
∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．（13分）
方法二当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．（9分）
∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC．
如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=4，
∴各点坐标为：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）D（0，4，2），E（4，0，4）
∴O（2，0，2），M（2，2，0），设N（a，b，c），
∴

MN

=(a-2，b-2，c)，

NE

=(4-a，-b，4-c)（10分）
∵点N在ME上，∴

MN

=λ

NE

，即（a-2，b-2，c）=λ（4-a，-b，4-c）
∴

a-2=λ(4-a) b-2=λ(-b) c=λ(4-c)

?

a= 4λ+2 λ+1 b= 2 λ+1 c= 4λ λ+1

∴N(

4λ+2

λ+1

，

2

λ+1

，

4λ

λ+1

)（11分）
∵

BD

=(0，0，2)是面ABC的一个法向量，
∴

ON

⊥

BD

，∴

4λ

λ+1

=2，解得λ=1．（12分）
∴

MN

=

NE

即N是线段EM的中点，
∴当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．（13分）

点评：本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．