Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为

3

：1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当

|TF|

|PQ|

最小时，求点T的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知可得

2c=2 a2-b2 =4 a= 3 b

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m²+3）y²+4my-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．
（ⅱ）T点的坐标为（3，-m）．|TF|=

m2+1

，|PQ|=

24 (m2+1)

m2+3

．由此能求出当

|TF|

|PQ|

最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，-1）．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得

2c=2 a2-b2 =4 a= 3 b

，
解得a²=6，b²=2．
所以椭圆C的标准方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．
由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为x=my+2．
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
得

x=my+2 x2 6 + y2 2 =1.

消去x，得（m²+3）y²+4my-2=0，
其判别式△=16m²+8（m²+3）＞0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y1+y2=

-4m

m2+3

，y1y2=

-2

m2+3

．
于是x1+x2=m(y1+y2)+4=

12

m2+3

．
设M为PQ的中点，则M点的坐标为(

6

m2+3

，

-2m

m2+3

)．
因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为-m，其方程为y=-m（x-2）．
当x=t时，y=-m（t-2），所以点T的坐标为（t，-m（t-2）），
此时直线OT的斜率为

-m(t-2)

t

，其方程为y=

m(2-t)

t

x．
将M点的坐标为(

6

m2+3

，

-2m

m2+3

)代入y=

m(2-t)

t

x，
得

-2m

m2+3

=

m(2-t)

t

•

6

m2+3

．解得t=3．
（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，-m）．
于是|TF|=

m2+1

，
|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[m(y1-y2)]2+(y1-y2)2

=

(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(m2+1)[( -4m m2+3 )2-4 -2 m2+3 ]

=

(m2+1)[( -4m m2+3 )2-4 -2 m2+3 ]

=

24 (m2+1)

m2+3

．
所以

|TF|

|PQ|

=

m2+1

•

m2+3

24 (m2+1)

=

1

24

•

(m2+3)2 m2+1

=

1

24

•

(m2+3)2 m2+1

=

1

24

•

(m2+1)2+4(m2+1)+4 m2+1

=

1

24

•

m2+1+ 4 m2+1 +4

≥

1

24

•

2 4 +4

=

3

3

．
当且仅当m2+1=

4

m2+1

，即m=±1时，等号成立，
此时

|TF|

|PQ|

取得最小值

3

3

．
故当

|TF|

|PQ|

最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，-1）．

点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用．