Question

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：Tn＜

7

2

．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知b1=

2

3

．b2=

2

9

，b_n=2-2S_n，b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．

bn

bn-1

=

1

3

，由此可求出数列{b_n}的通项公式．
（2）数列{a_n}为等差数列，公差d=

1

2

(a7-a5)=3，可得a_n=3n-1．从而cn=an•bn=2(3n-1)•

1

3n

，由此能证明数列{c_n}的前n项和Tn＜

7

2

．

解答：解：（1）由b_n=2-2S_n，令n=1，则b₁=2-2S₁，又S₁=b₁，
所以b1=

2

3

．b₂=2-2（b₁+b₂），则b2=

2

9

．
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．即

bn

bn-1

=

1

3

．
所以{b_n}是以b1=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，于是bn=2•

1

3n

．
（2）数列{a_n}为等差数列，公差d=

1

2

(a7-a5)=3，可得a_n=3n-1．
从而c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

∴Tn=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+(3n-1)•

1

3n

]=

7

2

-

7

2

•

1

3n

-

n

3n-1

＜

7

2

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．