题目内容

已知经过点P（0，2）且以 $数学公式$ 为一个方向向量的直线l与双曲线3x²-y²=1相交于不同两点A、B．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，且满足 $数学公式$ ，求实数a的值；
（3）是否存在这样的实数a，使得A、B两点关于直线 $数学公式$ 对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知，直线l的方程为 y=ax+2．
由 $\text{[math]}$ 消去y，并整理得（3-a²）x²-4ax-5=0．①
依题意得 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．②
因此所求的实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．因为点A、B均在已知双曲线的右支上，
所以（1）中方程①具有两个不同的正实数根x₁、x₂，即x₁＞0、x₂＞0，
于是 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，即（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，即 x₁x₂+y₁y₂=0，
而 y₁y₂=（ax₁+2）（ax₂+2）=a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4，
所以 x₁x₂+a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，即（1+a²）x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，
则 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
因此所求实数a的值为 $\text{[math]}$ ．
（3）假设存在实数a，使A、B两点关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则直线y=ax+2与 $\text{[math]}$ 相互垂直．
因为直线y=ax+1与 $\text{[math]}$ 的一个法向量分别为为（a，-1）、（1，-2），由题意，向量（a，-1）、（1，-2）也相互垂直，即有（a，-1）•（1，-2）=0，即 a+2=0，解得a=-2．（注：由直线y=ax+2与 $\text{[math]}$ 相互垂直得 $\text{[math]}$ ，解得a=-2．这样做也行．）
所以直线l的方程为y=-2x+2．
联立方程组 $\text{[math]}$ 消去y，并整理得 x²-8x+5=0．
这里△=（-8）²-20=44＞0，且x₁+x₂=8，x₁x₂=-5，
所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
设线段AB的中点为M，则 M（4，-6）．
由于AB中点M（4，-6）也在直线 $\text{[math]}$ 上，
因此存在实a=-2，可使A、B两点关于直线 $\text{[math]}$ 对称．
分析：（1）因为直线l经过点P（0，2）且以 $\text{[math]}$ 为一个方向向量，所以可写出点斜式方程，与双曲线方程联立，因为直线与双曲线相交于不同两点，利用韦达定理，即可求出实数a的取值范围．
（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，则（1）中直线与双曲线联立得到的关于x的一元二次方程有两正根，除满足△≥0外，还需满足两根之和大于0，两根之积大于0，把a的范围进一步缩小，再由 $\text{[math]}$ ，求出a值．
（3）先假设存在实数a，使得A、B两点关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则直线 $\text{[math]}$ 为线段AB的垂直平分线，直线l的法向量与直线 $\text{[math]}$ 的法向量互相垂直，得到a的值，再求出直线l的方程，与双曲线方程联立，求出A，B点的中点M坐标，判断M点是否再直线 $\text{[math]}$ ，若在，则假设成立，否则，假设不成立．
点评：本题主要考查了韦达定理在直线与双曲线位置关系判断中的应用，注意设而不求思想的应用．