Question

已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y²=4x交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；
（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=kx+2

，得k²x²+（4k-4）x+4=0，由△=（4k-4）²-16k²＞0，得k＜

1

2

，由x1+x2=-

4k-4

k2

=

4-4k

k2

，x1x2=

4

k2

，知y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=

8

k

，由以AB为直径的圆经过原点O，能求出直线l的方程．
（2）设线段AB的中点坐标为（x₀，y₀），由x0=

x1+x2

2

=

2-2k

k2

，得y0=kx0+2=

2

k

，故线段AB的中垂线方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-2k

k2

)，由此能求出△POQ面积的取值范围．

解答：解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=kx+2

，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
则由△=（4k-4）²-16k²=-32k+16＞0，得k＜

1

2

，
x1+x2=-

4k-4

k2

=

4-4k

k2

，x1x2=

4

k2

，
所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

8

k

，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以∠AOB=90°，
即

OA

•

OB

=0，
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

4

k2

+

8

k

=0，
解得k=-

1

2

，
即所求直线l的方程为y=-

1

2

x+2．
（2）设线段AB的中点坐标为（x₀，y₀），
则由（1）得x0=

x1+x2

2

=

2-2k

k2

，y0=kx0+2=

2

k

，
所以线段AB的中垂线方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-2k

k2

)，
令y=0，得xQ=2+

2-2k

k2

=

2

k2

-

2

k

+2=2(

1

k

-

1

2

)2+

3

2

，
又由（1）知k＜

1

2

，且k≠0，得

1

k

＜0或

1

k

＞2，
所以xQ＞2(0-

1

2

)2+

3

2

=2，
所以S△POQ=

1

2

|PO|•|OQ|=

1

2

×2×|xQ| ＞2，
所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．