Question

已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y²=4x交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；
（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得k²x²+（4k-4）x+4=0，由△=（4k-4）²-16k²＞0，得k＜，由=，，知y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=，由以AB为直径的圆经过原点O，能求出直线l的方程．
（2）设线段AB的中点坐标为（x，y），由，得，故线段AB的中垂线方程为，由此能求出△POQ面积的取值范围．
解答：解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
则由△=（4k-4）²-16k²=-32k+16＞0，得k＜，
=，，
所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以∠AOB=90°，
即，
所以，
解得k=-，
即所求直线l的方程为y=-．
（2）设线段AB的中点坐标为（x，y），
则由（1）得，，
所以线段AB的中垂线方程为，
令y=0，得==，
又由（1）知k＜，且k≠0，得或，
所以，
所以=，
所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．
点评：本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．