Question

已知经过点P（0，2）且以

d

=(1，a)为一个方向向量的直线l与双曲线3x²-y²=1相交于不同两点A、B．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，且满足

OA

•

OB

=0，求实数a的值；
（3）是否存在这样的实数a，使得A、B两点关于直线y=

1

2

x-8对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为直线l经过点P（0，2）且以

d

=(1，a)为一个方向向量，所以可写出点斜式方程，与双曲线方程联立，因为直线与双曲线相交于不同两点，利用韦达定理，即可求出实数a的取值范围．
（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，则（1）中直线与双曲线联立得到的关于x的一元二次方程有两正根，除满足△≥0外，还需满足两根之和大于0，两根之积大于0，把a的范围进一步缩小，再由

OA

•

OB

=0，求出a值．
（3）先假设存在实数a，使得A、B两点关于直线y=

1

2

x-8对称，则直线y=

1

2

x-8为线段AB的垂直平分线，直线l的法向量与直线y=

1

2

x-8的法向量互相垂直，得到a的值，再求出直线l的方程，与双曲线方程联立，求出A，B点的中点M坐标，判断M点是否再直线y=

1

2

x-8，若在，则假设成立，否则，假设不成立．

解答：解：（1）由已知，直线l的方程为  y=ax+2．
由  

y=ax+2 3x2-y2=1

消去y，并整理得  （3-a²）x²-4ax-5=0．①
依题意得     

3-a2≠0 △＞0

解得 -

15

＜a＜

15

且a≠

3

且a≠-

3

．②
因此  所求的实数a的取值范围为   (-

15

，-

3

)∪(-

3

，

3

)∪(

3

，

15

)．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．因为点A、B均在已知双曲线的右支上，
所以 （1）中方程①具有两个不同的正实数根x₁、x₂，即x₁＞0、x₂＞0，
于是     

△=(-4a)2+20(3-a2)＞0 x1+x2= 4a 3-a2 ＞0. x1x2=- 5 3-a2 ＞0.

解得 -

13

＜a＜-

3

．
又   

OA

•

OB

=0，即   （x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，即  x₁x₂+y₁y₂=0，
而  y₁y₂=（ax₁+2）（ax₂+2）=a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4，
所以  x₁x₂+a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，即 （1+a²）x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，
则   (1+a2)•(-

5

3-a2

)+2a•

4a

3-a2

+4=0，解得  a=±

7

．
又因为  -

13

＜a＜-

3

，所以  a=-

7

．
因此  所求实数a的值为  -

7

．
（3）假设存在实数a，使A、B两点关于直线y=

1

2

x-8对称，则直线y=ax+2与y=

1

2

x-8相互垂直．
因为直线y=ax+1与y=

1

2

x-8的一个法向量分别为为（a，-1）、（1，-2），由题意，向量（a，-1）、（1，-2）也相互垂直，即有  （a，-1）•（1，-2）=0，即 a+2=0，解得a=-2．（注：由直线y=ax+2与y=

1

2

x-8相互垂直得  a•

1

2

=-1，解得a=-2．这样做也行．）
所以直线l的方程为y=-2x+2．
联立方程组  

y=-2x+2 3x2-y2=1.

消去y，并整理得  x²-8x+5=0．
这里△=（-8）²-20=44＞0，且x₁+x₂=8，x₁x₂=-5，
所以

x1+x2

2

=4，则

y1+y2

2

=-2•(

x1+x2

2

)+2=-6．
设线段AB的中点为M，则  M（4，-6）．
由于AB中点M（4，-6）也在直线y=

1

2

x-8上，
因此  存在实a=-2，可使A、B两点关于直线y=

1

2

x-8对称．

点评：本题主要考查了韦达定理在直线与双曲线位置关系判断中的应用，注意设而不求思想的应用．