Question

设向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，点P(x，y)为动点，已知|a|＋|b|＝4.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F(1，0)的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）△ABC的面积存在最大值，其最大值为 

（Ⅰ）由已知，                （1分）
所以动点P的轨迹M是以点为焦点，长轴长为4的椭圆.      （3分）
因为，则.                                    （4分）
故动点P的轨迹M的方程是.                                  （5分）
（Ⅱ）设直线BC的方程为，
由.                    （6分）
设点，则，.         （7分）
所以
.               （8分）
由题设，点A的坐标是(－2，0)，则点A到直线BC的距离.     （9分）
所以.
令，则.                      （10分）
设，则.因为当时，，则函数在上是增函数.                                                          （11分）
所以当时，，从而，所以.          （12分）
故△ABC的面积存在最大值，其最大值为.                               （13分）