Question

6．已知f（x）=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$，方程f（x）=kx-2恰有两个不同的根，则实数k的取值范围为（0，1）∪（1，4）．

Answer 1

分析 先画出函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=图象，利用方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有两个不同的实数根?函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象有两个交点，即可求出．

解答 解：y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1或x＜-1}\\{-x-1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
画出函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象，
由图象可以看出，y=kx-2图象恒过A（0，-2），
①当k＜0时，函数函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象只有一个交点，
②当0＜k＜1时，函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象有两个交点，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有两个不同的实数根；
③当k=1时，函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象有1个交点，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有1个不同的实数根；
④当1＜k＜4时，函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象有两个交点，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有两个不同的实数根．
因此实数k的取值范围是0＜k＜1或1＜k＜4．
故答案为：（0，1）∪（1，4）．

点评 本题考查方程有两个实数解的条件，熟练掌握数形结合的思想方法及把问题等价转化是解题的关键．