题目内容
18.在直角坐标系xOy中,曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$(φ为参数,0<φ<π),曲线C2与曲线C1关于原点对称,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方程为ρ=2(0<θ<π),过极点O的直线l分别与曲线C1,C2,C3相交于点A,B,C.(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程;
(Ⅱ)求|AC|•|BC|的取值范围.
分析 (I)利用同角三角函数的关系消元得到C1的普通方程,在将普通方程转化为极坐标方程;
(II)求出三条曲线的普通方程,设直线方程为y=kx(k>0),求出A,B,C的坐标,利用三点的位置关系得出|AC|•|BC|=(|OC|-|OA|)•(|OA|+|OC|)=|OC|2-|OA|2.将|AC|•|BC|转化为关于k的函数.
解答 解:(I)曲线C1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0(0<y≤1).
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ(0<θ<π).
(II)曲线C2的普通方程为(x+1)2+y2=1(-1≤y<0),
曲线C3的普通方程为x2+y2=4(0<y≤2).
设直线l的方程为y=kx(k>0).
则A($\frac{2}{{k}^{2}+1}$,$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$),B(-$\frac{2}{{k}^{2}+1}$,-$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$),C($\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$,$\frac{2k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$).
∵A,B关于原点对称,∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|,
∴|AC|•|BC|=(|OC|-|OA|)•(|OA|+|OC|)=|OC|2-|OA|2
=$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$-$\frac{4+4{k}^{2}}{({k}^{2}+1)^{2}}$=4-$\frac{4}{{k}^{2}+1}$.
设f(k)=4-$\frac{4}{{k}^{2}+1}$,则f(k)在(0,+∞)上单调递增,
∵f(0)=0,$\underset{lim}{k→+∞}f(k)=4$,
∴0<f(k)<4.
即|AC|•|BC|的取值范围时(0,4).
点评 本题考查了参数方程,极坐标方程与普通方程的转化,直线与圆的位置关系,属于中档题.
| A. | [1,e] | B. | $(1+\frac{1}{e},e]$ | C. | (1,e] | D. | $[1+\frac{1}{e},e]$ |
| A. | $-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ |