Question

18．设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x+y-2=0．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式
（Ⅱ）证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，解方程组可得a，b，进而得到所求解析式；
（Ⅱ）求出函数的导数，由导数的单调性和零点存在定理，可得存在x₀∈（1，2）使得f′（x）=0，证明f（x₀）为最小值，且大于0，即可得证．

解答 （Ⅰ）解：∵函数f（x）的导数$f'（x）=lnx+\frac{x+a}{x}$，
∴f′（1）=1+a=-1，即a=-2，
又点（1，f（1））在切线x+y-2=0上，
∴1+b-2=0，即b=1，
∴y=f（x）的解析式为f（x）=（x-2）lnx+1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知${f^'}（x）=lnx+\frac{x-2}{x}=lnx-\frac{2}{x}+1$，
又∵f′（x）在（0，+∞）内单调递增，
且f′（1）=-1＜0，f′（2）=ln2＞0，
∴存在x₀∈（1，2）使得f′（x）=0．
当0＜x＜x₀时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞x₀时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴f（x）≥f（x₀）=（x₀-2）lnx₀+1．
由f′（x₀）=0得$ln{x_0}=\frac{2}{x_0}-1$，
∴$f（x）≥f（{x_0}）=（{x_0}-2）ln{x_0}+1=（{x_0}-2）（\frac{2}{x_0}-1）+1=5-（{x_0}+\frac{4}{x_0}）$．
令$r（x）=x+\frac{4}{x}（1＜x＜2）$，则${r^'}（x）=1-\frac{4}{x^2}=\frac{（x+2）（x-2）}{x^2}＜0$，
∴r（x）在区间（1，2）内单调递减，所以r（x）＜r（1）=5，
∴$f（x）＞5-（x+\frac{4}{x}）＞5-5=0$．
综上，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查不等式的证明，注意运用函数零点存在定理和构造法，运用单调性是解题的关键．