Question

【题目】已知椭圆是椭圆内任一点.设经过的两条不同直线分别于椭圆交于点记的斜率分别为

（1）当经过椭圆右焦点且为中点时,求:

①椭圆的标准方程;

②四边形面积的取值范围.

（2）当时,若点重合于点,且.求证:直线过定点.

Answer 1

【答案】(1) ①;②;(2)见解析.

【解析】

(1) ①由方程可求出焦点坐标,进而可求的斜率.设出,将 代入到椭圆方程中去,将所得方程相减整理, ,结合中点坐标和的斜率可求.

②由分析知, 当过点与的直线同时和椭圆相切时四边形 的面积最大. 设切线方程为，与椭圆联立整理后令，即可求出切点，进而可求切点到直线的距离，由弦长公式求出的长度，进而可求四边形的面积.

(2)设出的方程,与椭圆联立,得到横坐标的关系,由,可求出,进而可知.因此可证过定点.

(1) ①解:由题意知,.即椭圆的焦点坐标为.

则.设

则 两式相减整理得

是 的中点, 解得

故椭圆的方程为.

②解:由题意知,当过点与的直线同时和椭圆相切时四边形 的面积最大.

由知，切线斜率也为.设切线方程为，与椭圆联立得

，整理得，则

，解得.

则可求切点不妨设为 ，此时两点到 的距离

设，联立 ，整理得，则

由韦达定理知.

故.

(2)证明:当时,椭圆的方程为.

直线 的斜率存在且不为0,直线不过

设直线的方程为, 此时

联立得,整理得

则.

即 整理得

解得 此时

故直线 恒过.