Question

【题目】

设函数

（Ⅰ）若是函数的极值点，1和是的两个不同零点，且

且，求的值；

（Ⅱ）若对任意, 都存在（ 为自然对数的底数），使得

成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）3， （2）详见解析

【解析】试题分析：求导后利用为极值点，满足，在根据是的零点，满足，列方程组解出，把的值代入求导，研究函数的另一个零点所在的区间，求出；由于在上为增函数，只需在有解，令，只需存在使得即可，对求导，再进行分类讨论.

试题解析：

（Ⅰ）是函数的极值点，∴.

∵1是函数的零点，得，

由，解得，

∴,，

令， ，

令得，

所以在上单调递减；在上单调递增

故函数至多有两个零点，其中，

因为， , ，

所以，故．

（Ⅱ）令， ，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则

在有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令， ，

∴在(1，e)上单调递增， ，

①当，即时， ，即， 在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意.

② 当，即时，

若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上单调递减,∴存在，使得，符合题意.

若，则，∴在(1， e)上一定存在实数，使得，

∴在(1， )上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上单调递减,

∴存在，使得，符合题意.

综上，当时，对任意，都存在，使得成立