Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，关于的方程有两个不同的实数解，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在单调递增，在单调递减；

当时，在单调递减．（2）证明见解析；

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，结合函数的单调性证明即可．

解：函数的定义域是，

，

①当，即时，在单调递增，在单调递减，

②当，即时，在单调递减．

（2）证明：设，

所以，

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减；

所以在处取得最大值．

当时，方程有两个不同的实数解，

所以函数的两个不同的零点，，一个零点比1小，一个零点比1大．

不妨设，

由，且，得，且，

则，所以，

所以，令，，

．，，，

所以，

所以函数在区间上单调递增，，

所以，

又因为，所以．