Question

求数列{n（n+1）（n+2）}的前n项和．

Answer 1

分析：设ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k，故Sn=

n

k=1

k(k+1)(2k+1)=

n

k=1

(2k3+3k2+k)，将其每一项拆开再重新组合得：Sn=2

n

k=1

 k3+3

n

k=1

 k2+

n

k=1

 k，由此能求出数列{n（n+1）（n+2）}的前n项和．

解答：解：设ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k，
∴Sn=

n

k=1

k(k+1)(2k+1)=

n

k=1

(2k3+3k2+k)，
将其每一项拆开再重新组合得：
Sn=2

n

k=1

 k3+3

n

k=1

 k2+

n

k=1

 k
=2（1³+2³+…+n³）+3（1²+2²+…+n²）+（1+2+…+n）
=

n2(n+1)2

2

+

n(n+1)(2n+1)

2

+

n(n+1)

2

=

n(n+1)2(n+2)

2

．

点评：本题考查数列求和的方法，是中档题．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．