Question

已知数列{a_n}满足如图所示的流程图
（Ⅰ）写出数列{a_n}的一个递推关系式；
（Ⅱ）证明：{a_n+1-3a_n}是等比数列；并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{n(an+3n-1)}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，由程序框图即可写出数列{a_n}的一个递推关系式；a₁=a₂=1，
（Ⅱ）令a_n+2-ma_n+1=p（a_n+1-a_n），依题意可求得m=3，p=2，利用等比数列的定义可证：{a_n+1-3a_n}是等比数列；利用累加法可求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a_n=2ⁿ-3^n-1，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）依题意，a₁=a₂=1，a_n+2=5a_n+1-6a_n；
（Ⅱ）令a_n+2-ma_n+1=p（a_n+1-ma_n），则

p+m=5 pm=6

，
解得m=3，p=2或m=2，p=3．
取m=3，p=2，则

an+2-3an+1

an+1-3an

=2，又a₂-3a₁=1-3=-2，
∴{a_n+1-3a_n}是以-2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=（-2）•2^n-1=-2ⁿ．
∴

an+1

3n+1

-

an

3n

=-

1

3

•(

2

3

)n．
∴

an

3n

-

an-1

3n-1

=-

1

3

•(

2

3

)n-1，
…

a2

32

-

a1

31

=-

1

3

•(

2

3

)1，
∴

an

3n

-

a1

31

=-

1

3

[(

2

3

)1+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]=-

1

3

×2[1-(

2

3

)n-1]=-

2

3

+(

2

3

)n．
∴

an

3n

=-

1

3

+(

2

3

)n，
∴a_n=2ⁿ-3^n-1．
（Ⅲ）∵a_n=2ⁿ-3^n-1，
∴a_n+3^n-1=2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹（1-n）-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列求和，着重考查等比关系的确定，突出考查累加法与错位相减法求和，考查转化思想与创新能力，求{a_n}的通项公式是难点，属于难题．