Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是公比大于1的等比数列，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，我们不难构造方程组，解方程组即可求出相关基本量，进而给出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，我们易给出数列{b_n}的通项公式，分析后可得：数列{b_n}是一个等差数列，代入等差数列前n项和公式即可求出T_n

解答：解：（1）由已知得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2.

解得a₂=2．
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，
可得a1=

2

q

，a3=2q．
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，
即2q²-5q+2=0，
解得q1=2，q2=

1

2

由题意得q＞1，
∴q=2
∴a₁=1．故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1．
（2）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，
由（1）得a_3n+1=2³ⁿ
∴b_n=ln2³ⁿ=3nln2又b_n+1-b_n=3ln2_n
∴{b_n}是等差数列．
∴T_n=b₁+b₂++b_n
=

n(b1+bn)

2

=

n(3ln2+3nln2)

2

=

3n(n+1)

2

ln2．
故Tn=

3n(n+1)

2

ln2．

点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．