Question

3．已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）当a=0时，求不等式f（log₂x）+2≥0的解集；
（2）当a＜0时，求函数f（x）的最大值；
（3）当a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=-|x|-1，从而可得|log₂x|≤1，从而解得；
（2）当a＜0时，f（x）=ax²-|x|+2a-1是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，从而解得．
（3）当a＞0，x∈[1，2]时，化简f（x）=ax²-x+2a-1=a（x-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$+2a-1，从而讨论以确定函数的最小值．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-|x|-1，
故-|log₂x|-1+2≥0，
故|log₂x|≤1，
故$\frac{1}{2}$≤x≤2，
故不等式f（log₂x）+2≥0的解集为[$\frac{1}{2}$，2]；
（2）当a＜0时，
f（x）=ax²-|x|+2a-1是偶函数，在[0，+∞）上是减函数，
故f_max（x）=f（0）=2a-1；
（3）当a＞0，x∈[1，2]时，
f（x）=ax²-x+2a-1=a（x-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$+2a-1，
①当$\frac{1}{2a}$≤1，即a≥$\frac{1}{2}$时，
f（x）在[1，2]上是增函数，
故g（a）=f_min（x）=f（1）=3a-2，
②当1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，
g（a）=f_min（x）=f（$\frac{1}{2a}$）=-$\frac{1}{4a}$+2a-1，
③当$\frac{1}{2a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{4}$时，
f（x）在[1，2]上是减函数，
故g（a）=f_min（x）=f（2）=6a-3．
故g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，0＜a≤\frac{1}{4}}\\{-\frac{1}{4a}+2a-1，\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}}\\{3a-2，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了对数不等式的解法及分类讨论的思想应用，同时考查了绝对值函数的应用．