Question

18．已知以C₁为圆心的圆C₁：（x-6）²+（y-7）²=25．及其上一点A（2，4）．
（1）设圆C₂与x轴相切，与圆C₁外切，且圆心C₂在直线x=6上，求圆C₂的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆C₁相交于B，C两点，且|BC|=|OA|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心与半径，即可求圆C₂的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=2x+b，则圆心C₁到直线l的距离$d=\frac{|12-7+b|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{|5+b|}{{\sqrt{5}}}$．利用|BC|=|OA|，求出b，jk求直线l的方程．

解答 解：（1）因为C₂在直线x=6上，所以可设C₂（6，n），因为圆C₂与x轴相切，
则圆C₂为（x-6）²+（y-n）²=n²．又圆C₂与圆C₁外切，
圆${C_1}：{（x-6）^2}+{（y-7）^2}=25$．
则|7-n|=|n|+5，解得n=1．
所以圆C₂的标准方程为（x-6）²+（y-1）²=1．…（6分）
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为$\frac{4-0}{2-0}=2$．
设直线l的方程为y=2x+b，则圆心C₁到直线l的距离$d=\frac{|12-7+b|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{|5+b|}{{\sqrt{5}}}$．
则$|BC|=2\sqrt{{5^2}-{d^2}}=2\sqrt{25-\frac{{{{（5+b）}^2}}}{5}}$，又$|BC|=|OA|=2\sqrt{5}$，
所以$2\sqrt{25-\frac{{{{（5+b）}^2}}}{5}}=2\sqrt{5}$，解得b=5或b=-15，…（11分）
即直线l的方程为：2x-y+5=0或2x-y-15=0．…（12分）

点评 本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．