Question

4．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验得到如下数据的列联表：

	患病	未患病	总计
没服用药	20	30	50
服用药	x	y	50
总计	30	N	100

设从没服药的动物中任取两只，未患病数为ζ；
（I）求出列联表中数据x，y，N的值及ζ的分布列；
（Ⅱ）能够以97.5%的把握认为药物有效吗？（参考数据如下）
（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$）

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）由x列联表能求出x，y，N．由题意得ξ取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）求出K²≈7.762＜5.024，从而没有97.5%的把握认为药物有效．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由列联表得x=30-20=10，y=50-10=40，N=30+40=70．…（2分）
由题意得ξ取值为0，1，2
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{20}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{38}{245}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{20}^{1}{C}_{30}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{120}{245}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{30}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{87}{245}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{38}{245}$	$\frac{120}{245}$	$\frac{87}{245}$

∴Eξ=$0×\frac{38}{245}+1×\frac{120}{245}+2×\frac{87}{245}$=$\frac{294}{245}$．…（6分）
（2）∵K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100（800-300）^{2}}{30×70×50×50}$≈7.762＜5.024．
故没有97.5%的把握认为药物有效．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查独立检验的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．