Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）当时，求，求出的解，进而求出单调区间，即可求出极值；

（Ⅱ）求出，若，的极小值满足条件，当，讨论的大小，求出单调区间，极值的正负，结合零点存在性定理，即可求出结论.

（Ⅰ），

所以单调递增区间是，单调递减区间是，

所以的极小值为．

（Ⅱ），，

当时，在）单调递增，

单调递减，极大值为，

当时，即时，有一个零点；

当时，即时，

在单调递增，单调递减，

单调递增，由，

当时，，所以有一个零点；

当时，即时，

在单调递增，由，

当时，，所以有一个零点；

当时，即时，

在单调递增，单调递减，

单调递增，由，

，

当时，，所以有一个零点；

综上，有一个零点时，的取值范围为：