Question

8．已知向量$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}）$，$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，且A为钝角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）取最大值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量平行的性质，求得tanA=-$\sqrt{3}$，从而求得A的值．
（2）化简函数的解析式为 f（x）=-2${（sinx+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，再利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得它的最大值，以及此时x的集合．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}）$，$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，∴-sinA-$\sqrt{3}$cosA=0，tanA=-$\sqrt{3}$，
再根据A为钝角，可得A+$\frac{π}{3}$=π，A=$\frac{2π}{3}$．
（2）函数f（x）=cos2x+4cosAsinx=cos2x-2sinx=1-2sin²x-2sinx=-2${（sinx+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
故当sinx=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值为$\frac{3}{2}$，此时，x的值的集合为{x|x=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 x=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查两个向量平行的性质，三角恒等变换，正弦函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．