Question

若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.

（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；

（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.

Answer 1

（1）设公比为，则,

所以.                             

因为

=

=.                 

且即存在常数32,        

所以，数列是“和谐数列” .

（2）充分性

设等比数列的公比，且

则.

令，则                           

因为

所以是“和谐数列”                           

必要性

等比数列各项为正，且是“和谐数列”.

因为 所以，

下面用反证法证明，

（1）当则因为所以，不存在，使对恒成立;

当，则

所以，对于给定的正数，若

因为，，所以，

即当时，有.

所以，不存在常数，使                                

所以，

综上,数列是“和谐数列”的充要条件为其公比为.