Question

（Ⅰ）已知tanθ=2，求

1-sin2θ

1+cos2θ

的值；
（Ⅱ）化简：sin²αsin²β+cos²αcos²β-

1

2

cos2αcos2β．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把所求式子分子中的“1”变形为sin²θ+cos²θ，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，分母利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后分子分母同时除以cos²θ，利用同角三角函数间的基本关系化为关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值；
（Ⅱ）把原式的第一、二项的各因式分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，提取

1

4

后，括号里边抵消合并后，再利用乘法分配律把

1

4

乘到括号里边的每一项，并把所得的积相加，抵消合并可得出化简结果．

解答：解：（Ⅰ）∵tanθ=2，
∴

1-sin2θ

1+cos2θ

=

sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ

1+2cos2θ-1

（3分）
=

sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ

2cos2θ

=

tan2θ+1-2tanθ

2

（7分）
=

4+1-2×2

2

=

1

2

；（8分）

（Ⅱ） sin²αsin²β+cos²αcos²β-

1

2

cos2αcos2β
=

1-cos2α

2

•

1-cos2β

2

+

1+cos2α

2

•

1+cos2β

2

-

1

2

cos2αcos2β（13分）
=

1

4

[(1-cos2α)(1-cos2β)+(1+cos2α)(1+cos2β)]-

1

2

cos2αcos2β
=

1

4

[2+2cos2αcos2β]-

1

2

cos2αcos2β
=

1

2

+

1

2

cos2αcos2β-

1

2

cos2αcos2β
=

1

2

．（16分）

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，第一小问注意分子中“1”的灵活变换．