Question

F₁、F₂是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F₁MF₂顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（　　）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

Answer 1

分析：根据题意，延长F₁P，与F₂M的延长线交于B点，连接PO．根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OP的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点P的轨迹方程为x²+y²=a²，由此可得本题答案．

解答：解：如图所示
延长F₁P，与F₂M的延长线交于B点，连接PO，
∵MP是∠F₁MB的平分线，且PM⊥BF₁
∴△F₁MB中，|MF₁|=|BM|且P为BF₁的中点
由三角形中位线定理，得|OP|=

1

2

|BF₂|=

1

2

（|BM|+|MF₂|）
∵由椭圆的定义，得|MF₁|+|MF₂|=2a，（2a是椭圆的长轴）
可得|BM|+|MF₂|=2a，
∴|OP|=

1

2

（|MF₁|+|MF₂|）=a，可得动点P的轨迹方程为x²+y²=a²
为以原点为圆心半径为a的圆
故选：A

点评：本题在椭圆中求动点P的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．