Question

已知点P是椭圆

x2

8

+

y2

3

=1上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积是

3

．

Answer 1

分析：利用椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=4

2

，又|F₁F₂|=2

5

，∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理可求得|PF₁|•|PF₂|，从而可求得△F₁PF₂的面积．

解答：解：∵P是椭圆

x2

8

+

y2

3

=1上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，
∴|PF₁|+|PF₂|=4

2

，|F₁F₂|=2

5

，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=32-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|×

1

2

=32-3|PF₁|•|PF₂|=20，
∴|PF₁|•|PF₂|=4，
∴S△F1PF2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin60°=

1

2

×4×

3

2

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查余弦定理与三角形的面积，属于中档题．