Question

已知F₁，F₂是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60°，则离心率e的范围是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：由题意，可设|PF₁|=m，|PF₂|=n． 在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．再由定义得出m+n=2a，然后进行恒等变形，将4c²=m²+n²-2mncos60°量m，n用a，c表示出来即可得出离心率的取值范围

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），|PF₁|=m，|PF₂|=n．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2mn，
∴4c²=4a²-3mn．即3mn=4a²-4c²．
又mn≤(

m+n

2

)2=a²（当且仅当m=n时取等号），
∴4a²-4c²≤3a²，∴

c2

a2

≥

1

4

，即e≥

1

2

．
∴e的取值范围是[

1

2

，1）．
故答案为[

1

2

，1)

点评：本题考查椭圆的简单性质，解答的关键在 在△PF₁F₂中，利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式得到关于a，c的不等式，本题综合性强，难度中等