Question

（本小题满分14分）.已知函数，（a为实数）．

（Ⅰ）当a=5时，求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；

（Ⅲ）若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；

（Ⅱ）当时， ；当时，；

（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，.求出导数，进而求出切线的斜率，由点斜式即可得切线的方程；（Ⅱ）求导得，易得在单调递减，在单调递增.接下来结合图象对分情况讨论.显然当时，在区间上为增函数；当时，由于必有，所以在区间上为减函数，在区间上为增函数；（Ⅲ）首先分离参数可得：.下面利用导数研究函数在上的图象及性质，结合图象即可求得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）当时，． 1分

，故切线的斜率为． 2分

所以切线方程为:，即． 4分

（Ⅱ），

	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

①当时，在区间上为增函数，

所以 7分

②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

所以 8分

（Ⅲ）由，可得：， 9分

，

令， ．

	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

，， .

．

结合图象可知实数的取值范围为 ． 14分

考点：导数与不等式