Question

13．如图，A、B两座城市相距100千米，现计划在这两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上，已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区，为什么？

Answer 1

分析 过点P作PD⊥AB，D是垂足．AD与BD都可以根据三角函数用PD表示出来．根据AB的长，得到一个关于PD的方程，解出PD的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．

解答 解：过P作PD⊥AB于D，设PD=x，
在Rt△APD，∠APD=30°，则$AD=x•tan30°=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．
在Rt△BPD，∠BPD=45°，∴BD=PD=x，
∵AB=100，∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+x=100$，
∴$x=（{150-50\sqrt{3}}）$米＞50米．
∴不会穿过保护区．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．