Question

3．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=2，a₄=20
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=$\frac{1}{（6n-4）（6n+2）}$=$\frac{1}{12}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）  设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=2，a₄=20，
∴20=2+3d，
解得d=6．
∴a_n=2+6（n-1）=6n-4．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（6n-4）（6n+2）}$=$\frac{1}{12}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴数列{a_n}的前n项和=$\frac{1}{12}$$[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{12}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$
=$\frac{n}{12n+4}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．