题目内容

已知函数f（x）=x-alnx（a为常数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在 $数学公式$ 上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

解：（1）求导函数，可得 $\text{[math]}$ （x＞0）
若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）；
若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a
∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；
（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1-a=0，解得a=1
∴f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x²+b，即x-lnx+2x=x²+b，亦即x²-3x+lnx+b=0
设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0）
则g'（x）=2x-3+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（0， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，1）	1	（1，2）	2
g'（x）	+	0	-	0	+
G（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗	b-2+ln2

当x=1时，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（ $\text{[math]}$ ）=b- $\text{[math]}$ -ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[ $\text{[math]}$ ，2]上恰有两个不相等的实数根
∴g（ $\text{[math]}$ ）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0
∴b- $\text{[math]}$ -ln2≥0，b-2＜0，b-2+ln2≥0
∴ $\text{[math]}$ +ln2≤b≤2
分析：（1）先求出函数的导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x²+b在 $\text{[math]}$ 上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．
点评：本题主要考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．