Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ 存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（ ）
A.有3条
B.有2条
C.有1条
D.不存在

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函数f（x）=x﹣ 的导数为f′（x）=1﹣ ，
依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，
①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；
②a＞0时，f′（x）＞0即a＞ ，lna＞ ，x＜alna符合题意，则a＞0．
易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣ ）x﹣1．
假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0 ， y0），
即有 =1﹣ =（1﹣ ）x0﹣1，
消去a得 ，设h（x）=exx﹣ex﹣1，
则h′（x）=exx，令h′（x）＞0，则x＞0，
所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则 ，
而a＞0时， ，与 矛盾，所以不存在．
故选：D．