Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD= ，F是PB中点，E为BC上一点．

（1）求证：AF⊥平面PBC；
（2）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AB=PA=1，AD= ，F是PB中点，

∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（ ，1，0），

=（0，1，-1）， =（ ，1，-1），F（0， ， ），

=（0， ， ），

∵ =0， =0，

∴AF⊥PB，AF⊥PC，

∴AF⊥平面PBC．

（2）解：设BE=a，∴E（a，1，0）， =（a- ，1，0）， =（ ，0，-1），

设平面PDE的法向量 =（x，y，z），

则 ，

取x=1，得 =（1， -a， ），

平面PCE的法向量为 =（0， ， ），

∵二面角C﹣PE﹣D为45°，

∴cos＜ , ＞= = ，

解得a= ，

∴当BE= 时，二面角C﹣PE﹣D为45°．

AF⊥平面PBC．

【解析】（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥平面PBC．（2）设BE=a，E（a，1，0求出平面PDE的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出当BE= 时，二面角C﹣PE﹣D为45°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．