Question

【题目】设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设n∈N* ， 证明： + +…+ ＜ln（n+1）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 ，所以 （x≥0）

已知f（x）≥ag（x）恒成立，即 恒成立．

设 （x≥0），

则 ．

当a≤1时，φ'（x）≥0（仅当x=0，a=1时等号成立），

∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，

∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

即a≤1时， 恒成立（仅当x=0时等号成立）．

当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]恒有φ'（x）＜0，

∴φ（x）在（0，a﹣1]上单调递减，

∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0．

即a＞1时，存在x＞0，使φ（x）＜0，

故知 不恒成立．

综上可知，a的取值范围是（﹣∞，1]．

（2）证法一：在（1）中取a=1，可得 ，x＞0．

令 ，n∈N*，则

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时， ，结论成立

②假设当n=k时结论成立，即 ．

那么当n=k+1时， ，

即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N*成立．

证法二：

在（1）中取a=1，可得ln（1+x）＞ ，x＞0

令x= ，n∈N*，则 ．

故有 ， ，…， ，

上述各式相加可得 ，

结论得证

证法三：

如图， 是由曲线 ，x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积，

而 是图中所示各矩形的面积和，

∴ ，结论得证．

【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为 恒成立．设 （x≥0），根号函数的单调性求出a的范围即可；（2）法一：根据数学归纳法证明，法二：根据函数的单调性判断即可；法三：根据定积分的意义证明即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．